La théorie des files, née en 1917, a servi à modéliser mathématiquement le temps d’attente. La file se forme si le temps de service est supérieur au temps d’arrivée du client. Imaginons une caisse de supermarché avec un agent qui sert chaque client en 5 minutes et où un client arrive toutes les 6 minutes. Ce système n’induira a priori aucune attente. Imaginons maintenant qu’un client arrive toutes les 4 minutes. Le premier client de la journée n’attendra pas, le second client attendra 1 minute, le troisième 2 minutes, le quatrième 3 minutes et ainsi de suite, si bien que la file d’attente va s’allonger indéfiniment. Ces deux exemples suggèrent qu’à long terme, on ne devrait constater que des files infiniment longues ou totalement vides… ce qui est loin d’être le cas !
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Il manque dans ces deux exemples l’ingrédient principal de l’attente : la variabilité. Les temps de service et d’arrivée ne sont jamais identiques, du coup, il y aura alternance entre files vides ou encombrées. Et la théorie des files d’attente permet de modéliser cet aléa et de calculer l’attente moyenne qu’un client devrait subir en fonction de paramètres comme le temps moyen de service, le temps moyen entre deux arrivées ou le nombre d’agents en service.
Ainsi, il vaut mieux choisir la caisse « moins de 10 articles », car le modèle montre qu’une série de services courts est moins variable que quelques services plus longs.
De même, il vaut mieux avoir peu d’employés rapides que beaucoup lents (salaires mis à part) : la théorie des files d’attente modélise les situations où certains agents ne travaillent pas du fait de l’absence de client dans la file, ce qui arrive plus souvent quand il y a beaucoup d’agents, comme plus de clients peuvent être servis simultanément. La performance de la file n’est pas optimale ce qui conduit à des performances dégradées avec de nombreux agents lents.
Cette théorie des files d’attente est un outil puissant pour prendre des décisions : choix de la caisse, le routage des clients, l’embauche ou le management de personnel. Et ce choix peut être crucial comme pour les urgences hospitalières.